基础版 — 2026年6月

Robert Galida
独立研究者

---

摘要

吸引子框架提供了一个跨物理、生物、认知和社会系统的领域通用词汇，用于描述持久性与变化。然而，其核心变量——$\kappa$κ（修正渗透率）、$B$B（盆地深度）和 $R$R（现实对齐）——在不同应用论文中的定义不一致，它们的形式关系也一直隐含未明。本文为该框架提出了一个候选的数学形式化方案。

本文的核心数学创新是将持久性视为定义在轨迹上的泛函——$D_T(x)={\int }_0^{T}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$DT​(x)=∫0T​d(ϕτ​(x),A)dτ——而非状态的标量属性。我们证明了 $D_T$DT​ 的几个数学性质，包括非负性、关于 $T$T 的单调性、可加性、对初始条件的利普希茨连续性，以及将 $D_{\mathrm{\infty }}$D∞​ 与恢复率 $\kappa$κ 联系起来的界：$D_{\mathrm{\infty }}(x)\le \frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$D∞​(x)≤κC​d(x,A)。我们通过占据测度建立了与动态规划和遍历理论的联系。我们引入了一个互补的拓扑持久性泛函 $P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t)，用于度量轨迹状态空间几何中拓扑特征的寿命，以及拓扑演化率 $E(t)$E(t)。

我们统一了框架的变量集：$\kappa$κ 是恢复率（操作上定义为 $1\mathrm{/}\tau$1/τ）；$\gamma$γ 是持久混沌中提议的漂移率，基于高维神经网络文献；$B$B 是能垒（盆地深度）；$\tilde{B}$B~ 是互补的持久深度；$R$R 是期望对数预测似然。我们提出了将 $E(t)$E(t) 与 $\kappa$κ 和 $\gamma$γ 联系的可检验预测，并提供了使用神经网络训练和持续同调的 falsifiable 实验方案。

本文提供了一个候选的形式基础，包含明确的定义、数学性质和经验实证。所有未验证来源均已清楚标注。

关键词： 吸引子框架，持久性泛函，累积偏差，拓扑持久性，修正渗透率，盆地深度，现实对齐，持续同调，动力系统，轨迹泛函，占据测度，遍历理论

---

1. 引言

吸引子框架已应用于物理学（氢衰变、金斯不稳定性）、生物学（ECM力学、HRV）、认知学（信念更新、表现吸引子）和社会系统（宗教吸引子、文明动力学）。一个共同的词汇已经出现：$\kappa$κ（修正渗透率）、$B$B（盆地深度）和 $R$R（现实对齐）。然而，这些变量在不同论文中的定义不一致，它们的形式关系也一直隐含未明。本文提出了一个解决这些不一致性的候选数学形式化方案。

本文的核心数学创新是将持久性视为定义在轨迹上的泛函而非状态的标量属性。$D_T(x)={\int }_0^{T}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$DT​(x)=∫0T​d(ϕτ​(x),A)dτ 可以理解为一类作用量泛函（经审慎限定）。如同经典作用量 $\int L(q,\dot{q})dt$∫L(q,q˙​)dt，它赋予整条轨迹一个标量，在拼接下具有可加性，并暗示变分和最优控制解释。然而，它不是力学作用量；它是一个累积偏差泛函，度量远离平衡的时间。这将框架带入轨迹层面分析的领域，使其与现代动力系统和几何控制理论对齐。

我们引入累积偏差泛函 $D_T(x)$DT​(x) 作为这一核心对象，并建立其数学性质，包括与恢复率 $\kappa$κ 的关系。我们引入一个互补的拓扑持久性泛函 $P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t) 和拓扑演化率 $E(t)$E(t)。我们统一框架的变量集，给出操作性定义，并提出带有可证伪标准的可检验预测。

1.1 范围与地位

本文是一个候选形式化——它提供定义、数学性质和经验假设。它不是一个已完成的经验验证；这是未来工作的主题。所有主张都标为定义（形式结构的一部分）、命题/定理（已证明）或假设（可检验的预测）或启发式（尚未形式化的示意性联系）。这一区分贯穿全文。

---

2. 形式定义

设 $\mathcal{X}$X 是一个带有距离函数 $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$∥⋅∥ 的度量空间。设 ${\varphi }_{\tau }(x)$ϕτ​(x) 是从状态 $x\in \mathcal{X}$x∈X 在时间 $\tau =0$τ=0 开始的动力系统的流。设 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{X}$A⊆X 是一个吸引子集（轨迹收敛到的紧致不变集）。假设流是连续且可测的，使得 $d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})$d(ϕτ​(x),A) 可测。流 ${\varphi }_{\tau }$ϕτ​ 满足半群性质 ${\varphi }_{t+s}={\varphi }_t\circ {\varphi }_s$ϕt+s​=ϕt​∘ϕs​ 对所有 $t,s\ge 0$t,s≥0，且 ${\varphi }_0=\text{id}$ϕ0​=id。我们假设 $d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})\in L^1([0,T])$d(ϕτ​(x),A)∈L1([0,T]) 对所有有限 $T$T 成立，因此定义 $D_T$DT​ 的积分是良好定义的。

定义点到吸引子的距离：$$d(x,\mathcal{A})=\underset{a\in \mathcal{A}}{\inf }\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$$d(x,A)=a∈Ainf​∥x−a∥

该定义适用于任何度量空间；对于无限维空间，采用通常的可测性和可积性条件。

2.1 累积偏差泛函

定义 1（累积偏差泛函）： 对于有限视界 $T>0$T>0，累积偏差泛函为：$$D_T(x)={\int }_0^{T}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$$DT​(x)=∫0T​d(ϕτ​(x),A)dτ

解释： $D_T(x)$DT​(x) 是在区间 $[0,T]$[0,T] 内从吸引子的累积偏差总量。它度量积分误差、驻留时间加权距离或累积遗憾。这不是路径长度；它度量远离平衡的时间，而路径长度 $\int \mathrm{\parallel }{\dot{\varphi }}_{\tau }(x)\mathrm{\parallel }d\tau$∫∥ϕ˙​τ​(x)∥dτ 度量行进距离。

领域通用性： 该定义适用于任何具有良好定义的状态空间、流和吸引子集的系统。它不需要线性性、可微性或特定的函数形式。

经验注释： $D_T$DT​ 是经验工作的基本对象；$D_{\mathrm{\infty }}$D∞​ 主要是用于理论界的分析极限。

注释： $D_T$DT​ 不是李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数是当前状态的标量函数；$D_T$DT​ 是整个轨迹的泛函。它不会沿轨迹单调递减，也不提供逐点稳定性信息。其目的是度量累积历史，而非瞬时能量。

占据测度联系： 定义轨迹到时间 $T$T 的占据测度为：$${\mu }_T(B)={\int }_0^T{\mathbf{1}}_B({\varphi }_{\tau }(x))d\tau$$μT​(B)=∫0T​1B​(ϕτ​(x))dτ

对可测 $B\subseteq \mathcal{X}$B⊆X。则：$$D_T(x)={\int }_{\mathcal{X}}d(y,\mathcal{A})d{\mu }_T(y)$$DT​(x)=∫X​d(y,A)dμT​(y)

因此 $D_T$DT​ 是在占据测度下到吸引子的期望距离。这直接将泛函与遍历理论和占据测度分析联系起来。关于占据测度和不变测度的基础性处理，见 Ruelle (1989) 和 Bowen (1975)。

---

2.1.1 为什么选择 L¹ 轨迹泛函？

选择 L¹ 积分而非其他选项的动机如下：

• 线性： 每一时刻贡献相等；累积随时间可加。
• 物理单位： 对于具有自然距离度量的系统，$D_T$DT​ 的单位为距离×时间，可解释为累积偏差。
• 简单性： 它是非路径长度的最简单的非平凡轨迹泛函。
• 类比： 它类似于控制论和遍历理论中的累积遗憾和占据测度。
• 避免过度加权： 不同于 $d^2$d2，它不会不成比例地加权大的偏差；不同于 max，它对整个轨迹敏感。

这是一个自然选择；其他泛函（如 $d^p$dp、指数加权积分）可以在不改变框架结构的情况下替换。

---

2.2 拓扑持久性泛函

设 $X_{\tau }=\{{\varphi }_s(x):s\in [0,\tau ]\}$Xτ​={ϕs​(x):s∈[0,τ]} 是到时间 $\tau$τ 的轨迹段。设 ${\text{PH}}_k(X_{\tau })$PHk​(Xτ​) 是点云 $X_{\tau }$Xτ​ 在尺度 $ϵ$ϵ 的 $k$k 维持续同调。每个特征（连通分量、环、空洞）有一个诞生尺度 $b$b 和一个消亡尺度 $d$d，持久性为 $d-b$d−b。关于持续同调的基础性处理，见 Edelsbrunner & Harer (2010) 或 Carlsson (2009)。

定义 2（拓扑持久性泛函）： 我们定义以下互补的拓扑持久性泛函。对 $t\ge 0$t≥0：$$P_{\text{topo}}(t)={\int }_0^t\sum _{k\ge 0}\sum _{(b,d)\in {\text{PH}}_k(X_{\tau })}(d-b)d\tau$$Ptopo​(t)=∫0t​k≥0∑​(b,d)∈PHk​(Xτ​)∑​(d−b)dτ

映射 $\tau \mapsto {\text{PH}}_k(X_{\tau })$τ↦PHk​(Xτ​) 在轨迹不跨越同调临界阈值的区间上是分段常值的。假设轨迹在离散时间跨越这些阈值，积分良好定义为分段连续段的和。这是时变持续同调中的标准假设（见 Carlsson & Zomorodian, 2009）。

解释： $P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t) 是到时间 $t$t 为止轨迹状态空间几何中所有拓扑特征的总寿命。这是与 $D_T$DT​ 分离的数学对象；它们之间的关系是经验假设。这是若干拓扑摘要（如持续景观、持续图像）中一个可能的选择，之所以选择它是因为它镜像了 $D_T$DT​ 的累积解释，而非因其唯一典范性。其他稳定摘要——如持续景观、持续图像或贝蒂曲线——可以在不改变框架结构的情况下替换当前泛函。

测量： 在实践中，$P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t) 通过在离散时间采样轨迹、计算潜在激活流形上的持续同调、并使用标准库（如 GUDHI、Ripser）对所有特征的持久性求和来计算。Turner & Barak (2023) 证明训练后的 RNN 在训练过程中顺序发展出吸引子；这些吸引子的拓扑结构可以使用持续同调进行分析。

证伪： 如果持续同调特征在给定系统中与任何行为或动力学度量不相关，则 $P_{\text{topo}}$Ptopo​ 对该领域不是有用的构造。

---

2.3 拓扑演化率

定义 3（拓扑演化率）： 对于具有时变拓扑持久性的学习系统，拓扑演化率定义为：$$E(t)=\frac{d}{dt}{P}_{\text{topo}}(t)$$E(t)=dtd​Ptopo​(t)

在可微时，实验上为 $E(t)\approx \frac{\mathrm{\Delta }{P}_{\text{topo}}}{\mathrm{\Delta }t}$E(t)≈ΔtΔPtopo​​ 在有限区间上。

解释： $E(t)$E(t) 度量学习过程中系统拓扑复杂度变化的速率。负 $E(t)$E(t) 表示拓扑简化（压缩）；正 $E(t)$E(t) 表示复杂度增加（扩展）；$E(t)\approx 0$E(t)≈0 表示停滞。学习是拓扑变化的一种可能原因；随机漂移、噪声或混沌游荡也可以改变拓扑。

经验锚点： Karuppiah, Nazreen Banu 等人 (2026) 研究了训练过程中拓扑特征的演化。Turner & Barak (2023) 显示 RNN 在训练中顺序发展出吸引子，这可能对应拓扑简化的阶段。我们假设成功学习对应于定义阶段中 $E(t)$E(t) 的负平均值，但这是可检验的主张，而非定义。

---

3. 累积偏差泛函的数学性质

本节建立 $D_T$DT​ 的数学行为，为框架中使用它提供基础。

3.1 非负性

命题 1（非负性）： 对任意 $x\in \mathcal{X}$x∈X 和任意 $T\ge 0$T≥0：$$D_T(x)\ge 0$$DT​(x)≥0

等式成立当且仅当 ${\varphi }_{\tau }(x)\in \mathcal{A}$ϕτ​(x)∈A 对几乎所有 $\tau \in [0,T]$τ∈[0,T] 成立。

证明： 被积函数是距离函数 $d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})$d(ϕτ​(x),A)，由定义非负。非负函数的积分为非负。等式成立仅当被积函数几乎处处为零。

---

3.2 关于 $T$T 的单调性

命题 2（单调性）： 固定 $x$x，$D_T(x)$DT​(x) 关于 $T$T 单调非递减：$$D_{T_2}(x)\ge D_{T_1}(x)\text{对 }{T}_2\ge T_1$$DT2​​(x)≥DT1​​(x)对 T2​≥T1​

证明： 对 $T_2\ge T_1$T2​≥T1​：$$D_{T_2}(x)={\int }_0^{T_1}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau +{\int }_{T_1}^{T_2}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$$DT2​​(x)=∫0T1​​d(ϕτ​(x),A)dτ+∫T1​T2​​d(ϕτ​(x),A)dτ

第二个积分为非负（命题 1）。因此 $D_{T_2}(x)\ge D_{T_1}(x)$DT2​​(x)≥DT1​​(x)。

推论： 如果轨迹在时间 ${\tau }_0<T$τ0​<T 精确收敛到吸引子，则：$$D_T(x)=D_{{\tau }_0}(x)\text{对所有 }T\ge {\tau }_0$$DT​(x)=Dτ0​​(x)对所有 T≥τ0​

---

3.3 可加性

命题 3（可加性）： 对任意 $T,S\ge 0$T,S≥0：$$D_{T+S}(x)=D_T(x)+D_S({\varphi }_T(x))$$DT+S​(x)=DT​(x)+DS​(ϕT​(x))

证明：$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D_{T+S}(x)}& {\displaystyle ={\int }_0^{T+S}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{T}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau +{\int }_T^{T+S}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =D_T(x)+{\int }_0^{S}d({\varphi }_{\tau +T}(x),\mathcal{A})d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =D_T(x)+{\int }_0^{S}d({\varphi }_{\tau }({\varphi }_T(x)),\mathcal{A})d\tau \text{（由半群性质）}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =D_T(x)+D_S({\varphi }_T(x))}\end{array}$$DT+S​(x)​=∫0T+S​d(ϕτ​(x),A)dτ=∫0T​d(ϕτ​(x),A)dτ+∫TT+S​d(ϕτ​(x),A)dτ=DT​(x)+∫0S​d(ϕτ+T​(x),A)dτ=DT​(x)+∫0S​d(ϕτ​(ϕT​(x)),A)dτ（由半群性质）=DT​(x)+DS​(ϕT​(x))​

这自然地将 $D_T$DT​ 与贝尔曼方程、动态规划和占据测度联系起来。

---

3.4 启发式联系：动态规划

可加性性质 $D_{T+S}(x)=D_T(x)+D_S({\varphi }_T(x))$DT+S​(x)=DT​(x)+DS​(ϕT​(x)) 暗示了与动态规划的自然联系。对于受控系统 $\dot{X}=f(X,u)$X˙=f(X,u)，控制 $u\in \mathcal{U}$u∈U，值函数 $V(x)={\inf }_u{D}_{\mathrm{\infty }}(x)$V(x)=infu​D∞​(x) 形式上满足 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程：$$0=\underset{u}{\inf }\{d(x,\mathcal{A})+\mathrm{\nabla }V(x)\cdot f(x,u)\}$$0=uinf​{d(x,A)+∇V(x)⋅f(x,u)}

这是可加成本泛函的标准结果。针对特定泛函 $D_T$DT​ 的完整推导留待未来工作。本节是启发式联系，而非形式结果。

---

3.5 对初始条件的利普希茨连续性

命题 4（DTDT​ 的利普希茨连续性）： 假设流 ${\varphi }_{\tau }$ϕτ​ 在 $x$x 中利普希茨连续，常数为 $L$L，即 $\mathrm{\parallel }{\varphi }_{\tau }(x)-{\varphi }_{\tau }(y)\mathrm{\parallel }\le e^{L\tau }\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$∥ϕτ​(x)−ϕτ​(y)∥≤eLτ∥x−y∥。则对吸引子 $\mathcal{A}$A 盆中的任意 $x,y$x,y：$$\mathrm{\mid }{D}_T(x)-D_T(y)\mathrm{\mid }\le {\int }_0^T{e}^{L\tau }d\tau \mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }=\frac{e^{LT}-1}{L}\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$$∣DT​(x)−DT​(y)∣≤∫0T​eLτdτ∥x−y∥=LeLT−1​∥x−y∥

证明： 首先，注意距离函数 $d(\cdot ,\mathcal{A})$d(⋅,A) 是 1-利普希茨的：对任意 $x,y\in \mathcal{X}$x,y∈X,$$\mathrm{\mid }d(x,\mathcal{A})-d(y,\mathcal{A})\mathrm{\mid }\le \mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$$∣d(x,A)−d(y,A)∣≤∥x−y∥

这由三角不等式和下确界的定义得出。然后，使用流的利普希茨性质：$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{D}_T(x)-D_T(y)\mathrm{\mid }}& {\displaystyle \le {\int }_0^T\mathrm{\mid }d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})-d({\varphi }_{\tau }(y),\mathcal{A})\mathrm{\mid }d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \le {\int }_0^T\mathrm{\parallel }{\varphi }_{\tau }(x)-{\varphi }_{\tau }(y)\mathrm{\parallel }d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \le {\int }_0^T{e}^{L\tau }\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }d\tau }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{LT}-1}{L}\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }}\end{array}$$∣DT​(x)−DT​(y)∣​≤∫0T​∣d(ϕτ​(x),A)−d(ϕτ​(y),A)∣dτ≤∫0T​∥ϕτ​(x)−ϕτ​(y)∥dτ≤∫0T​eLτ∥x−y∥dτ=LeLT−1​∥x−y∥​

解释： 此命题保证 $D_T$DT​ 的经验估计在初始条件的小扰动下是稳健的，并确立 $D_T$DT​ 在吸引子盆上定义了一个连续泛函。这对数值估计和实验测量至关重要。

---

3.6 瞬时增长率

注记 1（瞬时增长率）： 如果被积函数 $d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})$d(ϕτ​(x),A) 关于 $\tau$τ 连续，则：$$\frac{d}{dT}{D}_T(x)=d({\varphi }_T(x),\mathcal{A})$$dTd​DT​(x)=d(ϕT​(x),A)

这直接由微积分基本定理得出。

---

3.7 遍历极限

命题 5（遍历极限）： 假设归一化占据测度 ${\nu }_T={\mu }_T\mathrm{/}T$νT​=μT​/T 当 $T\to \mathrm{\infty }$T→∞ 时弱收敛到不变概率测度 $\mu$μ。则：$$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}{D}_T(x)={\int }_{\mathcal{X}}d(y,\mathcal{A})d\mu (y)$$T→∞lim​T1​DT​(x)=∫X​d(y,A)dμ(y)

证明： 由占据测度表示 $D_T(x)=\int d(y,\mathcal{A})d{\mu }_T(y)=T\int d(y,\mathcal{A})d{\nu }_T(y)$DT​(x)=∫d(y,A)dμT​(y)=T∫d(y,A)dνT​(y)，${\nu }_T$νT​ 到 $\mu$μ 的弱收敛和 $d(\cdot ,\mathcal{A})$d(⋅,A) 的有界性/连续性给出结果。

这是对可观测 $d(\cdot ,\mathcal{A})$d(⋅,A) 应用的逐点遍历定理。关于动力系统的遍历理论，见 Bowen (1975) 和 Ruelle (1989)。

---

3.8 指数稳定性下的界

定理 2（指数稳定性下的界）： 假设流 ${\varphi }_{\tau }(x)$ϕτ​(x) 以指数速率 $\kappa >0$κ>0 收敛到吸引子 $\mathcal{A}$A：$$d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})\le C{e}^{-\kappa \tau }d(x,\mathcal{A})$$d(ϕτ​(x),A)≤Ce−κτd(x,A)

对某个常数 $C<\mathrm{\infty }$C<∞，对所有 $\tau \ge 0$τ≥0。则：$$D_{\mathrm{\infty }}(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau \le \frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$$D∞​(x)=∫0∞​d(ϕτ​(x),A)dτ≤κC​d(x,A)

证明：$$D_{\mathrm{\infty }}(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau \le {\int }_0^{\mathrm{\infty }}C{e}^{-\kappa \tau }d(x,\mathcal{A})d\tau$$D∞​(x)=∫0∞​d(ϕτ​(x),A)dτ≤∫0∞​Ce−κτd(x,A)dτ$$=Cd(x,\mathcal{A}){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\kappa \tau }d\tau =\frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$$=Cd(x,A)∫0∞​e−κτdτ=κC​d(x,A)

推论： 对于具有恢复率 $\kappa$κ 的线性稳定系统，$D_{\mathrm{\infty }}(x)\le \frac{1}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$D∞​(x)≤κ1​d(x,A)（当 $C=1$C=1 时）。

重要： 指数稳定性蕴含 $D_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$D∞​<∞。逆命题不被声称；多项式收敛也可以产生有限的 $D_{\mathrm{\infty }}$D∞​。

---

3.9 恢复率界

推论 1（恢复率界）： 对于满足具有常数 $C$C 的指数稳定性假设的系统，恢复率 $\kappa$κ 满足：$$\kappa \le \frac{Cd(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$$κ≤D∞​(x)Cd(x,A)​

对于 $C=1$C=1 的系统（例如，无瞬态超调的规范/对称线性化），这退化为：$$\kappa \le \frac{d(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$$κ≤D∞​(x)d(x,A)​

证明： 由定理 2，$D_{\mathrm{\infty }}(x)\le \frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$D∞​(x)≤κC​d(x,A)。重排给出 $\kappa \le \frac{Cd(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$κ≤D∞​(x)Cd(x,A)​。当 $C=1$C=1 时，退化为 $\kappa \le \frac{d(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$κ≤D∞​(x)d(x,A)​。

解释： 小累积偏差意味着快速恢复（大 $\kappa$κ）。大累积偏差意味着慢恢复（小 $\kappa$κ）。这形式化了 $D_T$DT​ 和 $\kappa$κ 之间的直观联系。因子 $C$C 考虑了非正常系统中可能的瞬态超调。

---

3.10 有限视界近似

命题 6（有限视界）： 对任意 $ϵ>0$ϵ>0，存在有限 $T_{ϵ}$Tϵ​，使得对所有 $T>T_{ϵ}$T>Tϵ​：$$\mid D_T(x)-D_{\mathrm{\infty }}(x)\mid \le ϵ$$∣DT​(x)−D∞​(x)∣≤ϵ

证明： 这直接来自定理 2 下的指数稳定性假设。由于被积函数指数衰减，尾积分 ${\int }_T^{\mathrm{\infty }}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$∫T∞​d(ϕτ​(x),A)dτ 可以通过选择足够大的 $T$T 任意小。

---

3.11 性质总结

性质	陈述
非负性	$D_T(x)\ge 0$DT​(x)≥0
单调性	$D_{T_2}(x)\ge D_{T_1}(x)$DT2​​(x)≥DT1​​(x) 对 $T_2\ge T_1$T2​≥T1​
可加性	$D_{T+S}(x)=D_T(x)+D_S({\varphi }_T(x))$DT+S​(x)=DT​(x)+DS​(ϕT​(x))
利普希茨连续性	(	D_T(x) – D_T(y)	\leq \frac{e^{LT} – 1}{L} |x – y| )
瞬时增长率	$\frac{d}{dT}{D}_T(x)=d({\varphi }_T(x),\mathcal{A})$dTd​DT​(x)=d(ϕT​(x),A)
遍历极限	${\lim }_{T\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{T}{D}_T(x)=\int d(y,\mathcal{A})d\mu (y)$limT→∞​T1​DT​(x)=∫d(y,A)dμ(y)
指数稳定性蕴含有限 D∞D∞​	$D_{\mathrm{\infty }}(x)\le \frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$D∞​(x)≤κC​d(x,A)
恢复界（一般）	$\kappa \le \frac{Cd(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$κ≤D∞​(x)Cd(x,A)​
恢复界（C=1）	$\kappa \le \frac{d(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$κ≤D∞​(x)d(x,A)​
有限视界近似	$D_T(x)\to D_{\mathrm{\infty }}(x)$DT​(x)→D∞​(x) 当 $T\to \mathrm{\infty }$T→∞

---

4. 统一变量集

以下变量操作上定义。如果变量是提议，则明确说明。

4.1 修正渗透率 ($\kappa$κ)

定义 4（修正渗透率）： $\kappa$κ 是系统在小的扰动后恢复到其吸引子的速率。操作上在近似指数松弛下估计为 $\kappa =1\mathrm{/}\tau$κ=1/τ，其中 $\tau$τ 是特征恢复时间常数。这与线性化区域的指数收敛指数一致，并与吸引子框架中的原始定义一致。

与 DTDT​ 的关系： 由推论 1，对于初始偏差 $d(x,\mathcal{A})$d(x,A) 的系统，$\kappa \le \frac{Cd(x,\mathcal{A})}{D_{\mathrm{\infty }}(x)}$κ≤D∞​(x)Cd(x,A)​。

关于 κκ 地位的注释： 在本文中，$\kappa$κ 被视为原始经验区域参数。更强有力的理论将从 $D_T$DT​ 和系统几何导出 $\kappa$κ；这仍是未来工作的开放方向。

---

4.2 漂移率 ($\gamma$γ) — 一个提议的区分

定义 5（漂移率）： 我们基于主导李雅普诺夫指数 ${\lambda }_{\max }$λmax​ 提出以下动力区域的操作区分：

区域	${\lambda }_{\max }$λmax​	$\kappa$κ	$\gamma$γ	行为
稳定吸引子	$<-0.01$<−0.01	$>0$>0	$0$0	收敛到不动点
持久混沌	$\approx 0$≈0	$\approx 0$≈0	$>0$>0	游荡而不收敛
完全混沌	$>0$>0	未定义	$>0$>0	发散

阈值： ${\lambda }_{\max }<-0.01$λmax​<−0.01，$\mathrm{\mid }{\lambda }_{\max }\mathrm{\mid }\le 0.01$∣λmax​∣≤0.01，和 ${\lambda }_{\max }>0.01$λmax​>0.01（预注册，以 1/epoch 为单位测量）。这些数值阈值是说明性默认值，而非理论特权常数。

基础： 这一区分受高维神经网络混沌文献的启发（Engelken, Wolf & Abbott, 2023; Sompolinsky, Crisanti & Sommers, 1988; Clark, Abbott & Litwin-Kumar, 2023; Fournier & Urbani, 2023）。关于随机和随机扰动的处理，见 Arnold (1998)。

证伪： 如果 $\kappa$κ 和 $\gamma$γ 完全相关（即小 $\kappa$κ 的系统总是具有小 $\gamma$γ），则区分不有用。

---

4.3 盆地深度 ($B$B) 和持久深度 ($\tilde{B}$B~)

定义 6a（盆地深度 — 能垒）： $B$B 是逃离盆地所需的能垒，测量为吸引子和盆地边界上鞍点之间的势差：$$B=V(\text{鞍点})-V(\text{吸引子})$$B=V(鞍点)−V(吸引子)

这保留了早期论文中的原始定义。

定义 6b（持久深度）： 作为互补测量，我们定义：$$\tilde{B}=\underset{x\in \mathrm{\partial }\mathcal{B}}{\min }{D}_T(x)$$B~=x∈∂Bmin​DT​(x)

这是到达盆地边界所需的累积偏差。$B$B 和 $\tilde{B}$B~ 之间的关系仍然是一个开放的数学问题。

操作替代： 在实践中，盆地边界可能不良好定义。通过 Arrhenius 关系 $P_{\text{escape}}\propto e^{-B\mathrm{/}T}$Pescape​∝e−B/T 估计 $B$B，其中 $T$T 是噪声水平。

---

4.4 现实对齐 ($R$R)

定义 7（现实对齐）： $R$R 是期望对数预测似然：$$R=\mathbb{E}[\log p(y\mid X)]$$R=E[logp(y∣X)]

其中 $p(y\mid X)$p(y∣X) 是系统对给定状态 $X$X 下结果 $y$y 的预测分布。较高的 $R$R 表示较好的预测准确性。这是预测性能的标准度量；标签”现实对齐”是一种哲学解释。

方向依赖性： 框架将 $R$R 解释为可能方向依赖的：$R_{A\to B}\mathrm{\ne }{R}_{B\to A}$RA→B​=RB→A​。这捕捉了 Berglund 等人 (2024) 中发现的不对称性，其中训练在”A 是 B”上的模型未能推广到”B 是 A”。这种解释是框架层面的主张。

关于整合的注释： 在核心变量中，$R$R 是与轨迹形式主义整合最少的。与直接从 $D_T$DT​ 导出或相关的 $\kappa$κ、$B$B 和 $\tilde{B}$B~ 不同，$R$R 是从贝叶斯统计引入的。从相同的动力学原理导出 $R$R 的更完整理论——也许作为占据测度的信息论泛函——仍然是未来工作的开放方向。

---

5. 理论框架

5.1 $D_T$DT​、$P_{\text{topo}}$Ptopo​ 和 $E(t)$E(t) 之间的关系

泛函	度量对象	区域
$D_T(x)$DT​(x)	从吸引子的累积偏差	所有系统
$P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t)	拓扑特征寿命	具有拓扑结构的系统
$E(t)$E(t)	拓扑变化率	学习系统

假设： 在学习系统中，$D_T$DT​ 和 $P_{\text{topo}}$Ptopo​ 在学习早期正相关，在学习后期负相关。Turner & Barak (2023) 证明了 RNN 在训练过程中顺序发展出吸引子，这可能对应拓扑简化的阶段。这是一个可检验的预测。

---

5.2 $\kappa$κ、$\gamma$γ 和 $E(t)$E(t) 之间的关系

假设： 在学习系统中，拓扑演化率 $E(t)$E(t) 仅当系统不在持久混沌时才与 $\kappa$κ 单调相关：在收敛区域中 $\mathrm{\partial }E\mathrm{/}\mathrm{\partial }\kappa >0$∂E/∂κ>0（$E$E 和 $\kappa$κ 在适当的尺度上测量）。在持久混沌中，$E(t)$E(t) 与 $\gamma$γ 单调相关：$\mathrm{\partial }E\mathrm{/}\mathrm{\partial }\gamma >0$∂E/∂γ>0。相关性分析提供了这些单调性关系的统计检验。

---

5.3 自适应景观（启发式注释）

自适应景观 $V(X,t)$V(X,t) 演化为：$$\dot{V}=g(X,V)-\lambda V+\xi (t)$$V˙=g(X,V)−λV+ξ(t)

对于梯度系统 $\dot{X}=-{\mathrm{\nabla }}_{X}V(X)$X˙=−∇X​V(X)，并假设动力学保持在盆地内，高阶非线性可忽略，累积偏差泛函可近似为：$$D_T(x)\approx {\int }_0^T\mathrm{\parallel }{\mathrm{\nabla }}_{X}V({\varphi }_{\tau }(x),\tau )\mathrm{\parallel }d\tau$$DT​(x)≈∫0T​∥∇X​V(ϕτ​(x),τ)∥dτ

这是局部启发式。完整推导和整合到核心形式主义留待未来工作。

---

6. 可检验预测

6.1 核心预测

预测： 在学习系统中，$E(t)$E(t) 在收敛区域中与 $\kappa$κ 单调相关：$\mathrm{\partial }E\mathrm{/}\mathrm{\partial }\kappa >0$∂E/∂κ>0（$E$E 和 $\kappa$κ 在适当的尺度上测量），在持久混沌中 $\mathrm{\partial }E\mathrm{/}\mathrm{\partial }\gamma >0$∂E/∂γ>0。相关性分析提供了这些单调性关系的统计检验：$$\text{Corr}(E(t),\kappa )>0⟺{\lambda }_{\max }<0$$Corr(E(t),κ)>0⟺λmax​<0$$\text{Corr}(E(t),\gamma )>0⟺{\lambda }_{\max }\approx 0$$Corr(E(t),γ)>0⟺λmax​≈0

证伪： 如果 $E(t)$E(t) 在所有区域中与 $\kappa$κ 相关，或在所有区域中与 $\gamma$γ 相关，预测被证伪。

---

6.2 次级预测

预测： 在高 $R$R 的系统中，$D_T$DT​ 和 $P_{\text{topo}}$Ptopo​ 在学习后期负相关；在低 $R$R 的系统中，它们不相关或正相关。

证伪： 如果 $D_T$DT​ 和 $P_{\text{topo}}$Ptopo​ 在高 $R$R 和低 $R$R 系统中都负相关，预测被证伪。

---

6.3 边界条件和全局证伪条件

猜想： 我们猜想框架适用于满足以下条件的任何系统：

• A. 良好定义的状态空间。
• B. 受扰动影响。
• C. 至少有一个可识别的吸引子。
• D. 动力学可观测和可测量。

全局证伪条件： 如果找到一个系统，其中 $D_T$DT​、$\kappa$κ 和拓扑持久性在所有区域中相互独立，且 $R$R 不能表示为轨迹或占据测度的泛函，则统一本体论主张被证伪。如果存在这样的系统，框架统一持久性、稳定性和现实对齐的主张将被证伪。

---

7. 实验设计

7.1 系统选择

在 MNIST 或 CIFAR-10 上训练 CNN。使用潜在激活流形进行拓扑分析。

理由： Karuppiah, Nazreen Banu 等人 (2026) 展示了使用激活上的持续同调来研究特征学习和泛化。Turner & Barak (2023) 显示 RNN 在训练中顺序发展出吸引子，为研究学习过程中的拓扑演化提供了一个受控设置。

7.2 变量测量

变量	协议
$D_T(x)$DT​(x)	采样权重；计算到最终吸引子的距离；积分。
$P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t)	计算潜在激活上的持续同调；对特征寿命求和。
$E(t)$E(t)	$P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t) 的有限差分。
$\kappa$κ	扰动权重；测量恢复时间 $\tau$τ；$\kappa =1\mathrm{/}\tau$κ=1/τ。
$\gamma$γ	计算训练期间的平均漂移率。
$R$R	跨域泛化准确性。

7.3 统计分析

• 在区域条件下相关 $E(t)$E(t) 与 $\kappa$κ 和 $\gamma$γ。
• 预注册阈值和样本量。

关于未来经验工作的注释： 完整的经验验证需要预注册指定的样本量、显著性阈值、功效分析和稳健性检查。这些计划在后续工作中进行。

---

8. 讨论

8.1 意义

本文提供了一个带有定义变量、数学性质和可检验预测的候选形式化。$D_T$DT​ 的数学性质确立了其与 $\kappa$κ 的关系，并为框架的核心主张提供了基础。

8.2 局限性

• $P_{\text{topo}}$Ptopo​ 计算成本高。
• 框架是元理论，而非完整的领域特定理论。
• 变量可能混淆；因果推断需要受控实验。
• $\kappa \mathrm{/}\gamma$κ/γ 区域区分是提议的，需要经验验证。

8.3 未来工作

• 预测的经验验证。
• 从第一原理形式推导关系。
• 扩展到其他领域。
• 计算效率改进。

---

9. 结论

本文为吸引子框架提出了一个候选形式化。核心数学创新是将持久性视为定义在轨迹上的泛函——$D_T(x)={\int }_0^{T}d({\varphi }_{\tau }(x),\mathcal{A})d\tau$DT​(x)=∫0T​d(ϕτ​(x),A)dτ——而非状态的标量属性。我们定义了累积偏差泛函 $D_T$DT​、拓扑持久性泛函 $P_{\text{topo}}(t)$Ptopo​(t) 和拓扑演化率 $E(t)$E(t)。我们证明了 $D_T$DT​ 的几个数学性质，包括非负性、单调性、可加性、利普希茨连续性，以及将 $D_{\mathrm{\infty }}$D∞​ 与 $\kappa$κ 相联系的界：$D_{\mathrm{\infty }}(x)\le \frac{C}{\kappa }d(x,\mathcal{A})$D∞​(x)≤κC​d(x,A)。我们建立了与动态规划和遍历理论的联系。我们统一了变量集并给出了操作性定义。我们推导了可检验预测并提供了一个可证伪的实验方案。

框架现在具有形式定义、操作变量和经验测试。下一步是经验验证。

---

附录 A：来自 Larose (2025) 的可能扩展 — 未验证来源

注： 以下来源尚未独立验证。为完整性和未来探索的可能性而包含，不应被视为已确立。

Larose (2025) 为递归变形系统开发了一个框架。两个构造可能相关：

约束泛函： $C(X)={\int }_{\text{轨迹}}\mathrm{\parallel }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\mathrm{\parallel }d\tau$C(X)=∫轨迹​∥∇Φ∥dτ，测量累积不可逆变形。

持久性不变量： $I_p=\oint Rd\mathrm{\Phi }$Ip​=∮RdΦ，一个拓扑不变量。

这些尚未整合到核心框架中，为完整性和未来探索而呈现。它们应被视为未经验证的候选扩展。

---

参考文献

Arnold, L. (1998). Random Dynamical Systems. Springer.

Berglund, L., et al. (2024). “The Reversal Curse: LLMs Trained on ‘A is B’ Fail to Learn ‘B is A’.” arXiv:2309.12288.

Bowen, R. (1975). Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer.

Carlsson, G. (2009). “Topology and data.” Bulletin of the American Mathematical Society, 46(2), 255-308.

Carlsson, G., & Zomorodian, A. (2009). “The theory of multidimensional persistence.” Discrete & Computational Geometry, 42(1), 71-93.

Clark, D. G., Abbott, L. F., & Litwin-Kumar, A. (2023). “Dimension of activity in random neural networks.” Physical Review Letters, 131, 118401.

Edelsbrunner, H., & Harer, J. (2010). Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society.

Engelken, R., Wolf, F., & Abbott, L. F. (2023). “Lyapunov spectra of chaotic recurrent neural networks.” Physical Review Research, 5, 043044.

Fournier, S. J., & Urbani, P. (2023). “Statistical physics of learning in high-dimensional chaotic systems.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2023(11), 113301.

Karuppiah, K., Nazreen Banu, M., et al. (2026). “Topological Data Analysis (TDA) as a Framework for Understanding Deep Learning Behavior.” 2025 IEEE 5th International Conference on ICT in Business Industry & Government (ICTBIG), Indore, India, December 12-13, 2025. IEEE Xplore. DOI: 10.1109/ICTBIG68706.2025.11323998.

Larose, H. (2025). “A Mathematical Theory of Frame-Independent Persistence.” Academia.edu. [未验证来源.]

Ruelle, D. (1989). Chaotic Evolution and Strange Attractors. Cambridge University Press.

Sompolinsky, H., Crisanti, A., & Sommers, H. J. (1988). “Chaos in Random Neural Networks.” Physical Review Letters, 61(3), 259-262.

Turner, E., & Barak, O. (2023). “The Simplicity Bias in Multi-Task RNNs: Shared Attractors, Reuse of Dynamics, and Geometric Representation.” Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS).

---

建议引用： Galida, R. S. (2026). The Persistence Functional: A Candidate Formal Foundation for the Attractor Framework (基础版). Fantasy Attractor.